Помогите решить: 3sin^2x - 3sinx*cosx - 4cos^2x = -2
Дано уравнение:
3sin^2x - 3sinx*cosx - 4cos^2x = -2
Необходимо найти все решения данного уравнения.
Решение
Перепишем уравнение в более удобном виде:
3sin^2x - 3sinx*cosx - 4cos^2x + 2 = 0
Заметим, что при умножении на -1 получится выражение вида:
3cos^2x + 3sinx*cosx - 4sin^2x - 2 = 0
Теперь введем новые переменные:
-
t = sinx + cosx -
u = sinx - cosx
Тогда:
-
sinx = (t - u) / 2 -
cosx = (t + u) / 2
Подставляем новые переменные в уравнение:
3sin^2x - 3sinx*cosx - 4cos^2x + 2 = 0
3((t-u)/2)^2 - 3((t-u)/2)((t+u)/2) - 4((t+u)/2)^2 + 2 = 0
(3/4)t^2 - (11/4)u^2 + (1/2)tu - 1 = 0
Решаем получившееся квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = t^2 - 4(3)(-11)/4 = t^2 + 33
Так как t^2 + 33 >= 0 для любых t, то решение существует при любых t и u.
Возвращаемся к переменным sinx и cosx:
sinx + cosx = t
sinx - cosx = u
Решаем систему уравнений:
sinx = (t - u) / 2
cosx = (t + u) / 2
Выражаем t и u через sinx и cosx:
t = sinx + cosx
u = sinx - cosx
Ответ
Решение уравнения 3sin^2x - 3sinx*cosx - 4cos^2x = -2 имеет вид:
x = k * pi/2 - pi/4, где k ∈ Z