Электронный Кадастр

Помогите пожалуйста решить 4( 1+cosx) = 3sin^2 x/2 умножить на cos x/2

Для решения данного уравнения нужно использовать несколько тригонометрических тождеств и выражений.

  1. Раскроем $3sin^2 x/2$ по формуле половинного угла: $$ 3sin^2 x/2 = 3\cdot \dfrac{1-cosx}{2} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}cosx $$

  2. Узнаем значение $cosx/2$ из выражения $1+cosx$. Для этого воспользуемся формулой полусуммы: $$ cosx/2 = \sqrt{\dfrac{1+cosx}{2}} $$

  3. Подставим значения $3sin^2 x/2$ и $cosx/2$ в исходное уравнение и раскроем скобки: $$ 4\cdot (1+\sqrt{\dfrac{1+cosx}{2}})^2 = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}cosx \cdot \sqrt{\dfrac{1+cosx}{2}} $$ $$ 4\cdot (1+\dfrac{1+cosx}{2} + 2\sqrt{\dfrac{1+cosx}{2}}) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}cosx \cdot \sqrt{\dfrac{1+cosx}{2}} $$ $$ 5 + 4\sqrt{2(1+cosx)} = 3 - 3cosx\cdot\sqrt{1+cosx} $$

  4. Введем замену $t=\sqrt{1+cosx}$. Тогда получим: $$ 5 + 4t\sqrt{2} = 3 - 3t^2 $$ $$ 3t^2 + 4t\sqrt{2} - 2 = 0 $$

  5. Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = 32 - 36 = -4 $$

Т.к. дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, уравнение $4( 1+cosx) = 3sin^2 x/2 \cdot cosx/2$ не имеет решений в действительных числах.