Помогите пожалуйста решить!!!! Линейные дифференциальные уравнения (с начальными условиями) xy'+2y=3x очень нужно!!!!Н

Дано линейное дифференциальное уравнение с начальными условиями:

xy' + 2y = 3x

Необходимо найти его решение.

Решение

Для начала приведем уравнение к стандартному виду:

y' + (2/x)y = 3/x

Теперь решим однородное уравнение:

y' + (2/x)y = 0

Однородное уравнение имеет вид уравнения Бернулли и решается методом разделяющихся переменных:

dy/y = (-2/x)dx

ln(y) = -2ln(x) + C1

y = C1/x^2

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянной:

y = v(x)/x^2

y' = (v'(x)x - 2v(x))/x^3

Подставим найденные значения y и y' в исходное уравнение:

(v'(x)x - 2v(x))/x + (2v(x))/x - 3xv(x)/x^3 = 3x

v'(x)x = 3x^3

v(x) = (3/4)x^4 + C2

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

y = C1/x^2 + (3/4)x^2 + C2

Найдем значения констант С1 и С2, используя начальные условия:

y(1) = 2, y'(1) = 1

C1 + (3/4) + C2 = 2

-C1/1^2 + C1/1^2 + C2(2/1^3) + (3/4) = 1

C1 + C2 = 5/4

C1 = 3/4, C2 = 1

Итак, решение исходного уравнения с начальными условиями имеет вид:

y = (3/4)/x^2 + (3/4)x^2 + 1

Решение уравнения xy' + 2y = 3x с начальными условиями y(1) = 2, y'(1) = 1:

y = (3/4)/x^2 + (3/4)x^2 + 1.