Помогите! Как решить тригонометрическое уравнение?
Дано: 4•(1-cosx) = 3 sin•x:2•cos в квадрате•x:2
Решение:
Мы знаем, что 1-cosx = sin^2(x/2)
и 2•cos в квадрате•x/2 = cosx + 1
, поэтому мы можем заменить в левой части уравнения 1-cosx
на sin^2(x/2)
и в правой части 2•cos в квадрате•x/2
на cosx + 1
. Тогда уравнение примет вид:
4•sin^2(x/2) = 3•sin(x)•(cosx + 1)/2
Раскроем sin^2(x/2)
с помощью формулы sin^2(x/2) = (1 - cosx)/2
:
4•(1 - cosx)/2 = 3•sin(x)•(cosx + 1)/2
Сократим на 2
:
2•(1 - cosx) = 3•sin(x)•(cosx + 1)
Раскроем скобки:
2 - 2cosx = 3cosx•sinx + 3sinx
Перенесем все члены на одну сторону:
2 - 3sinx - 2cosx - 3cosx•sinx = 0
Факторизуем:
(3sinx - 2)(1 + 3cosx) = 0
Отсюда получаем два уравнения:
-
3sinx - 2 = 0
sinx = 2/3
Находим x:
x = sin^(-1)(2/3) ≈ 0.7297 + 2πn или x = π - sin^(-1)(2/3) ≈ 2.4117 + 2πn, где n - целое число.
-
1 + 3cosx = 0
cosx = -1/3
Находим x:
x = cos^(-1)(-1/3) ≈ 1.9106 + 2πn или x = -cos^(-1)(-1/3) ≈ 2.2312 + 2πn, где n - целое число.
Ответ:
x ≈ 0.7297 + 2πn, x ≈ 2.4117 + 2πn, x ≈ 1.9106 + 2πn, x ≈ 2.2312 + 2πn
, где n - целое число.