Почему формула бинома Ньютона является частным случаем разложения в ряд Тейлора?

Формула бинома Ньютона имеет вид: $(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k}a^k b^{n-k}$, где $n$ - натуральное число, $a$ и $b$ - любые числа.

Разложение в ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x=a$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$.

Таким образом, для доказательства того, что формула бинома Ньютона является частным случаем разложения в ряд Тейлора, нужно показать, что $(a+b)^n$ - это разложение некоторой функции в ряд Тейлора.

Для этого возьмем функцию $f(x) = (1+x)^n$. Тогда, используя бином Ньютона, получим: $f(x) = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k}x^k$.

Далее, найдем производные $f(x)$: $f^{(1)}(x) = n(1+x)^{n-1}$; $f^{(2)}(x) = n(n-1)(1+x)^{n-2}$ и т.д.

Теперь подставим полученные значения производных в ряд Тейлора:

$f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!}f''(a) + ... + \frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a) + ...$

$f(x) = (1+a)^n + nx(1+a)^{n-1} + \frac{n(n-1)x^2}{2!}(1+a)^{n-2} + ... + \frac{n!x^n}{n!}$

$f(x) = (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k}x^k$, что и является формулой бинома Ньютона.

Таким образом, мы показали, что формула бинома Ньютона является частным случаем разложения в ряд Тейлора функции $(1+x)^n$ в окрестности точки $x=0$.