Чему равен предел?

Предел - это математический термин, который обозначает значение функции при стремлении аргумента к определенному значению. Если значением, к которому стремится аргумент, оказывается бесконечность, то такой предел называется бесконечным.

Чему равен предел cos(2x)/cos(x) при х стремящемся к pi/2-0 и pi/2+0?

Рассмотрим функцию cos(2x)/cos(x). При подстановке pi/2 - 0 или pi/2 + 0 вместо x получаем выражение 0/0. Это неопределенный предел.

Для того чтобы найти предел, воспользуемся правилом Лопиталя.

Правило Лопиталя гласит: если имеется неопределенный предел f(x)/g(x) при x стремящимся к a, то предел этой функции будет равен f'(x)/g'(x), если предел f'(x)/g'(x) существует при x стремящемся к a.

Продифференцируем функцию cos(2x)/cos(x) по x:

(cos(2x))' = -2sin(2x)

(cos(x))' = -sin(x)

Получим следующий предел:

lim (cos(2x)/cos(x)) = lim (-2sin(2x)/sin(x)) при x -> pi/2

Теперь подставим pi/2 - 0:

lim (-2sin(2x)/sin(x)) = lim (-2sin(2(pi/2)-2h)/sin(pi/2-h)) при h -> 0

После несложных математических преобразований получим следующий ответ:

lim (-2sin(2x)/sin(x)) = -2

То есть предел функции cos(2x)/cos(x) при х стремящемся к pi/2-0 равен -2.

Теперь подставим pi/2 + 0:

lim (-2sin(2x)/sin(x)) = lim (-2sin(2(pi/2)+2h)/sin(pi/2+h)) при h -> 0

Также после преобразований получаем ответ:

lim (-2sin(2x)/sin(x)) = 2

То есть предел функции cos(2x)/cos(x) при х стремящемся к pi/2+0 равен 2.

Таким образом, предел функции cos(2x)/cos(x) при х стремящемся к pi/2-0 и pi/2+0 различен и равен -2 и 2 соответственно.